AuK/Hilfsmittel Mathematik 2 SS11
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<language>Scheme</language>
'''<b>Autor:</b>'''
Bernd Schönlebe
== Rekursionsgleichungen (Differenzengleichung)==
[[Datei:Droste.jpg|200px|thumb|right|Beispiel einer Rekursion in einer frühen Werbung um 1900]]
Bereits eine leicht verständliche Definition der [http://de.wikipedia.org/wiki/Rekursion Rekursion] wirft eine scheinbar ebenso einfache Frage auf:
:'''Rekursion'''
::Siehe: "Rekursion".
Wie lange muss man "Rekursion" nachschlagen um die Definition zu erfahren? Bzw. wieviele Schritte werden benötigt? In diesem Fall sind es unendlich viele Wiederholungen, denn es handelt sich um einen Infiniten Regress. Im folgendem Beispiel ist schon eine Abbruchbedingung mit eingebaut:
:'''Rekursion'''
::Wenn Sie es noch nicht verstanden haben, Siehe: "Rekursion".
Hier kann man die vorhergehenden Fragen nicht so leicht beantworten, denn das Verhalten der Abruchbedingung ist unbekannt, aber immerhin ist es möglich, dass es zum Abbruch der Schleife kommt und somit eine Antwort gegeben werden kann. Ein Beispiel aus der Mathematik verdeutlich ein weiteres Problem:
:'''Die Fibonacci Folge'''
::Die Mathematische Definition der [http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge Fibonacci Folge] ''F<sub>n</sub>'' :
:::<math>F_n = F_{n-1} + F_{n-2},\!\,</math>
::mit den Startwerten
:::<math>F_0 = 0 \quad\text{und}\quad F_1 = 1.</math>
Hier ein Beispiel zum Testen in Scheme:
<code id="4b960fdc15037" rows="20" cols="90">(define fib
(lambda (n)
(if (< n 2)
1
(+ (fib (- n 1)) (fib (- n 2))))))</code>
<run id="4b960fdc15804">
(fib 5)
</run>
Grob gesagt ist ein Element die Summe seiner beiden Vorgänger. Hier ist der Aufwand linear, d.h. zur Berechnung von ''F<sub>n</sub>'' werden ''n'' Schritte benötigt. Oder wenn wenn man ''n'' verdoppelt , verdoppelt sich die Anzahl der Schritte zur Berechnung. Aber wie ist der Verlauf der Ergebnisse? Wie groß werden die Ergebnisse wenn man ''n'' verdoppelt oder vervierfacht und wieviel Speicher benötigt man dafür? Im Folgenden sieht man eine graphische Darstellung des Verlaufes bis <math>n=20</math>:
<gnuplot>
set xlabel "n"
set ylabel "T(n)"
set data style lines
plot \
<dataset>
0 0
1 1
2 1
3 2
4 3
5 5
6 8
7 13
8 21
9 34
10 55
11 89
12 144
13 233
14 377
15 610
16 987
17 1597
18 2584
19 4181
20 6765
</dataset>
</gnuplot>
=== Motivation ===
Da man aber nun trotzdem eine Abschätzung für den Aufwand (Schritte, Resourcen, etc. ) braucht und dieser meist nicht direkt ablesbar ist, hat man mehrere Mathematische Methoden entwickelt. Nun könnte man entweder empirisch oder theoretisch die Aufwandsfunktion ermitteln.Daraus entsteht z.B. <math>T_1(n)=n^2</math> oder <math>T_2(n)=2\cdot n^3+5\cdot n^2-12</math> und man kann daran bereits die Aufwandsordnung nach der Groß-O-Notation ablesen:<math>T_1</math> liegt in <math>\mathcal{O}(n^2)</math>. <math>T_2</math> liegt in <math>\mathcal{O}(n^3)</math>. Sobald man jedoch Algorithmen entwirft, entstehen Gleichungen wie z.B. <math>T(n)=f(T(n-1))</math> und es ist nicht mehr so einfach den Aufwand abzulesen. Wie erhält man nun die explizite Form für <math>T(n)</math> das von keinem anderen <math>T(i)</math> abhängt? Also der Form <math>T(n)=f(n)</math> entspricht?
=== Computeralgebrasysteme(CAS) ===
Um solche schwierigen Aufgaben dem Mathematiker abzunehmen, hat man sich bequeme Werkzeuge entwickelt, welche diese Arbeit an den Computer delegieren. Es handelt sich um sogenannte [http://de.wikipedia.org/wiki/Computeralgebrasystem Computeralgebrasysteme] (kurz CAS). Das sind Programme, die neben dem numerischen auch das symbolische Rechnen beherrschen. Normalerweise würde ein Taschenrechner folgenden Bruch <sup>1</sup>''/''<sub>3</sub> als Dezimalzahl mit begrenzter Genauigkeit speichern und anzeigen. Ein Symbolischer Rechner dagegen wird es als Division zweier ganzer Zahlen speichern und davon, wenn gewünscht, die dezimale Anzeige ableiten. Außerdem wird im weiteren Verlauf der Rechnung mit diesem Symbol auch immer wieder die Division der beiden Zahlen eingesetzt, sodass das Ergebnis keine wachsende Ungenauigkeit erfährt. Aber natürlich können Sie inzwischen mehr als nur einen Bruch zweier ganzer Zahlen zu speichern. Hier ein Auszug:
::-Termumformungen
::-Termvereinfachung
::-Gleichungslösen
::-Extremwertbestimmung
::-Graphische Kurvendarstellung
Es gibt verschiedene CAS (z.B. [http://de.wikipedia.org/wiki/Maple_(Software) Maple], [http://de.wikipedia.org/wiki/Mathematica Mathematica], [http://de.wikipedia.org/wiki/Matlab Matlab], [http://de.wikipedia.org/wiki/Maxima_(Computeralgebrasystem) Maxima]) und jedes Softwarepaket geht unterschiedlich vor bei umformen von Gleichungen. Meist benutzt man sogenannte [http://de.wikipedia.org/wiki/Z-Transformation Z-Transformationen], die wiederum ein sehr schwieriges Thema in der Mathematik darstellen. Im Folgenden wird Maple benutzt um eine solche Lösung mit einem CAS zu demonstrieren.
===Einführung Maple===
1980 wurde durch Keith O. Geddes und Gastón H. Gonnet die erste Version von Maple programmiert. Inzwischen ist es bei Version 14 angekommen und hat somit bereits eine eigene Geschichte von Optimierungen hinter sich. Das Lösen der Anwandsgleichung wird hier duch den Befehl [http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=rsolve ''rsolve''] erledigt. Er verlangt als erstes Argument eine Liste mit Elementen und als zweites Argument ein Element nachdem aufgelöst werden soll.
Beispiel Fibonacci:
:Eingabe:
:<code>lsg1 := rsolve({T(0) = 0, T(1) = 1, T(n) = T(n-1)+T(n-2)}, T(n));</code>
:Ausgabe:
:<math>-1/5\, \sqrt{5} \left( 1/2-1/2\, \sqrt{5} \right) ^{n}+1/5\, \sqrt{5} \left( 1/2+1/2\, \sqrt{5} \right) ^{n}</math>
Als nächstes kann man sich mit dem Befehl [http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=simplify%2fdetails ''simplify''] die Gleichung vereinfachen lassen.
:Eingabe:
:<code>simplify(lsg1);</code>
:Ausgabe:
:<math>-1/5\, \sqrt{5} \left( \left( 1/2-1/2\, \sqrt{5} \right) ^{n}- \left( 1/2+1/2\, \sqrt{5} \right) ^{n} \right)</math>
Für die Darstellung in dezimaler Form gibt es dann noch den Befehl [http://www.maplesoft.com/support/help/AddOns/view.aspx?path=evalf ''evalf'']. Er hilft hier dabei die asymtoptische Ordnung <math>\mathcal{O}</math> leichter abzuschätzen. Das Argument ist in diesem Fall dasselbe wie bei ''simplify'' und nicht dessen Ausgabe.
:Eingabe:
:<code>evalf(lsg1);</code>
:Ausgabe:
:<math>- 0.4472135954\, \left( - 0.6180339880\\
\mbox{} \right) ^{n}+ 0.4472135954\,{ 1.618033988\\
\mbox{}}^{n}</math>
Hier kann man die asymptotische Ordnung direkt abgelesen werden: <math>\mathcal{O}(c^{n})</math>. Der Aufwand für die Fibonacci Folge ist damit exponentiell.
== Raten und Einsetzen ==
(20min.)
-Intuitives Erraten der Bildungsvorschrift aus Wertetabelle
-Beweis 3^(log(2,n))=n^(log(2,3))
Benutzt werden folgende Gesetze
{|class="wikitable"
|-
|'''Logarithmus Gesetz I''' ||<math>\log_a a^{b}=b</math>
|-
|'''Logarithmus Gesetz II''' ||<math>\log_a b = \tfrac{log_w b}{log_w a}</math>
|}
Beweis: <math>3^{\log_2 n}=n^{\log_2 3}</math>
Umformen bis <math>Term1=x</math> gleich <math>x=Term2</math>
{|class="wikitable"
|-
| Nr.|| Zwischenergebnis || Umformungsschritt
|-
| ||<math>\to a^{\log_b c}=x=c^{\log_b a}</math> ||Wahl von <math>c^{\log_b a}=x</math> als Start
|-
| 1||<math>\to c^{\log_b a}=x</math> ||Erweitern auf beiden Seiten mit <math>log_c</math>
|-
| 2||<math>\to \log_c c^{\log_b a}=\log_c x</math> ||Umformen nach '''I'''
|-
| 3||<math>\to \log_b a =\log_c x</math>||Umformen nach '''II''' und <math>w \to c</math>
|-
| 4||<math>\to \tfrac{\log_c a}{\log_c b}=\log_c x</math>||Erweitern beider Seiten mit <math>\log_c b</math> und <math>\tfrac{1}{\log_c x}</math>
|-
| 5||<math>\to \tfrac{\log_c a}{\log_c x}=\log_c b</math>||Umformen nach '''II'''
|-
| 6||<math>\to \log_x a=\log_c b</math>||Umformen nach '''II''' mit <math>w \to a</math> links und <math>w \to b</math> rechts
|-
| 7||<math>\to \tfrac{\log_a a}{\log_a x}=\tfrac{\log_b b}{\log_b c}</math>||Vereinfachen
|-
| 8||<math>\to \tfrac{1}{\log_a x}=\tfrac{1}{\log_b c}</math>||auf beiden Seiten das Reziproke bilden
|-
| 9||<math>\to \log_a x =\log_b c</math>||Rechte Seite Umformen nach '''I''' mit <math>\log_a a</math>
|-
| 10||<math>\to \log_a x =\log_a a^{\log_b c}</math>||auf beiden Seiten Division durch <math>\log_a</math>
|-
| 11||<math>\to x =a^{\log_b c}</math>||Ziel erreicht
|}
== Konstruktive Induktion ==
(20min.)
-Vermutung expon. Funktion
-Induktionsanfang
-Induktionsschritt
-Beweis das Omega(...) für T(n) gilt
...
== Iterationsmethode ==
(20min.)
-Expansion der Gleichung
-Ableitung der Summenformel
-log Umformung
...
== Die Meistermethode ==
(20min.)
-Einleitung: T(n)= a * T(n/b) + f(n)
-3 Fallunterscheidungen
-Anwendung nach Fall 2
-Anwendung nach Fall 3
-wann nicht anwenden
...
== Aufgaben ==
# '''Computeralgebrasysteme(10min.)'''
# '''Raten und Einsetzen(20min.)'''
# '''Konstruktive Induktion(20min.)'''
# '''Iterationsmethode(20min.)'''
# '''Mastermethode(20min.)'''
...
=== Lösungen ===
...