BuK/IIm10/BuK-Übung02 G2

Wiki-Quelltext dieser Seite.

<language>Scheme</language>
<language>Java</language>
= Halteproblem =
== Aufgabe ==
Spielen Sie die Betrachtungen zum Halteproblem mit Scheme-Prozeduren
nach.
Hinweis: Definieren Sie ggf. auch eine Prozedur haelt-tricky?, die #t zurück gibt,
wenn das betrachtete Programm P ein Ergebnis berechnet, und #f, wenn die Berech-
nung in einer gewissen Zeit T zu keinem Ergebnis führt. Verwenden Sie zeitbeschränkte
Berechnungen, deren Implementierungsidee einige Kreativität erfordert.

== Lösung für Racket==
Die Lösungsidee besteht darin, einen neuen Thread für sie zu prüfende Prozedur zu starten. Der Hauptthread fragt anschließend periodisch ab, ob der andere Thread seine Berechnung beendet hat.
Ist die Berechnung nach einer bestimmten Zeit nicht abgeschlossen, wird die Berechnung gestoppt und #f zurückgegegen. In der Praxis ist diese Lösungsvariante mit Threads und einem Timeout häufig anzutreffen.
<code id="4d8b0c366b24c">
(define (haelt-fuer-n? f n)
    (if (integer? (f n))
        #t
        #f))

(define (haelt? f)
    (haelt-fuer-n? f 0))

(define (crazy n)
    (if (haelt? crazy n)
        (crazy n)
        n))

(define (haelt-tricky? f timeout)
    (letrec 
        ([ft (thread f)]
         [helper
          (lambda (timeLeft)
            (if (thread-running? ft)
                (if (= timeLeft 0)
                    #f
                    (begin (sleep 1) (helper (- timeLeft 1))))
                #t))])
      (helper timeout)))

(define test1
  (lambda ()
    (print "hallo")))

(define test2
  (lambda ()
    (test2)))
</code>

Aufrufbeispiele:
<code>
(haelt-tricky? test1 10)
</code>
<code>
(haelt-tricky? test2 10)
</code>

Eine ähnliche Implementation in Java kann [[hier]] gefunden werden.

= Beweise =

== Aufgabe 1 ==
Zeigen Sie, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar unendlich ist.

== Lösung ==
Eine Menge ist dann abzählbar unendlich wenn sie gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen <math>\mathbb{N}</math> ist. Mit [http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_erstes_Diagonalargument Cantors erstes Diagonalargument] lässt sich zeigen, dass die unendliche Menge der rationalen Zahlen <math>\mathbb{Q}</math> gleichmächtig mit der Menge der natürlichen Zahlen <math>\mathbb{N}</math> ist.

== Aufgabe 2 ==
Zeigen Sie, dass die Wortmenge <math>A^{\ast}</math> über <math>A</math> abzählbar unendlich ist.

== Lösung ==

Gegeben sei ein Alphabet <math>A</math> mit den Elementen <math>\{a_1,a_2,a_3\ldots,a_n\}</math> im weiteren Buchstaben genannt. Die Anzahl der Buchstaben ist <math>n</math> und endlich. Weiterhin sei die Ordnungsrelation <math>a_1<a_2<a_3<\ldots<a_n</math> für die Buchstaben gegeben.<br>
Die Wortmenge <math>A^{\ast}</math> wird gebildet, in dem beliebige Buchstaben aus <math>A</math> verkettet werden. Die Länge eines Wortes wird über die Anzahl der Buchstaben festgelegt.<br>
'''Beispiel:'''  <math>a_1</math> hat die Länge 1, <math>a_1a_1a_3</math> hat die Länge 3 und als Spezialfall für das leere Wort <math>\varepsilon</math> mit der Länge 0.<br>
Die Abbildung der Wörter aus <math>A^{\ast}</math> auf die natürlichen Zahlen <math>\mathbb{N}</math> wird wie folgt umgesetzt. Die Wörter werden ihrer Länge entsprechend angeordnet, wobei die kürzeren (Länge ist kleiner) zuerst verwendet werden. Wörter der selben Länge werden [http://de.wikipedia.org/wiki/Lexikographische_Ordnung lexikographisch] geordnet. Das erste Wort wird der 1 zugeordnet, das Zweite der 2 usw..<br>
Angewendet ergibt sich:<br>
<math>
\begin{array}{cccccccccccc}
\text{Wort} & \varepsilon & a_1 & a_2 & \ldots & a_n & a_1a_1 & a_1a_2 & \ldots & a_1a_n & a_2a_1 & \ldots \\
\mathbb{N} & 1 & 2 & 3 & \ldots & n+1 & n+2 & n+3 & \ldots & 2n+1 & 2n + 2 & \ldots\\
\end{array}
</math>
<br>
Jedem Element der Wortmenge kann genau eine natürliche Zahl zugeornet werden. Die Wortmenge <math>A^{\ast}</math> über <math>A</math> ist also abzählbar unendlich.



== Aufgabe 3 ==
Zeigen Sie, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar unendlich ist.

== Lösung ==

Durch Widerspruch kann gezeigt werden, dass die Menge der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> überabzählbar unendlich ist. Für den Beweis wird das offene Intervall (0,1)  betrachtet was eine echte Teilmenge der reellen Zahlen darstellt.<br>
'''Annahme:''' Die Menge der reellen Zahlen im offenen Intervall (0,1) ist abzählbar.<br>
Es muss eine bijektive Abbildung der reellen Zahlen auf die natürlichen Zahlen existieren. Sei nun <math>l_{i}</math> eine beliebige Folge von reellen Zahlen im offenen Intervall (0,1). Die Folge lässt sich dezimal wie folgt darstellen:<br>
<math>
\begin{array}{ccc}
l_1 & = & 0,a_{1;1}a_{1;2}a_{1;3}\ldots\\
l_2 & = & 0,a_{2;1}a_{2;2}a_{2;3}\ldots\\
l_3 & = & 0,a_{3;1}a_{3;2}a_{3;3}\ldots\\
&\vdots
\end{array}
</math>
<br>
wobei <math>l_{i}</math> reelle Zahlen sind und <math>a_{i;j}</math> die Dezimalstellen dieser Zahlen. Nun lässt sich eine Zahl <math>z</math> konstruieren die nicht in der Folge <math>l_{i}</math> zu finden ist.<br>
<math>z = 0,f_1f_2f_3\cdots</math><br>
wobei 
<math>
f_i=\begin{cases}
0, &\text{wenn } a_{i;i} = 9;\\
a_{i;i} + 1 &\text{wenn } a_{i;i} < 9;\\
\end{cases}
</math><br>
Diese Diagonalzahl <math>z</math> unterscheidet sich von allen anderen Zahlen der Folge <math>l_{i}</math> und ist ebenfalls im Intervall (0,1). Es kann also für jede beliebige Folge <math>l_{i}</math> eine Zahl gefunden werden die nicht in der Folge enthalten ist.<br>
Es existiert keine surjektive Abbildung der natürlichen Zahlen auf das offene Intervall (0,1). D.h. es kann auch keine bijektive Abbildung existieren. Die Menge der reellen Zahlen im Intervall (0,1) ist also nicht abzählbar. Sie ist überabzählbar unendlich. Da das Intervall eine echte Teilmenge der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ist, gilt das auch für die Menge der reellen Zahlen.

= Kreativität =

Schauen Sie sich das [http://www.youtube.com/watch?v=oyo_oGUEH-I Video] an, um den Begriff der Kreativität besser zu verstehen.

= Bijektive Funktion =
== Aufgabe ==
Verifizieren Sie, dass die folgende Funktion <math>f : \mathbb{N}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+}</math> eine bijektive Funktion ist und
implementieren Sie eine Prozedur, die die zugehörige Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math> berechnet.<br>
<math>
f(n)=\begin{cases}
1, &\text{wenn }n = 1;\\
f(\frac{n}{2}) + 1, & \text{wenn n gerade};\\
\frac{1}{f(n - 1)}, & \text{wenn n ungerade}.
\end{cases}
</math>

== Lösung ==
=== Scheme Prozedur ===
<code>
(define (f n)
    (cond
      [(= n 1) 1]
      [(= (modulo n 2) 0) (+ (f (/ n 2)) 1)]
      [else (/ 1 (f (- n 1)))]))
</code>
<run>
(f 3)
</run>

=== Handrechnung ===
<math>
\begin{array}{ccccc}
f(1) & = & 1 \\
f(2) & = & f(1) + 1 & = & 2 \\
f(3) & = & 1 / f(2) & = & 1 / 2 \\
f(4) & = & f(2) + 1 & = & 3 \\
f(5) & = & 1 / f(4) & = & 1 / 3 \\
f(6) & = & f(3) + 1 & = & 3 / 2 \\
f(7) & = & 1 / f(6) & = & 2 / 3 \\
...\\
\end{array}
</math>

=== Effizienzsteigerung mit Memoizing ===