BuK/IIm10/BuK-Übung02 G1
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=Halteproblem=
==Aufgabenstellung==
Spielen Sie die Betrachtungen zum Halteproblem (s. Vorlesung) mit Scheme-Prozeduren nach.
Hinweis: Definieren Sie ggf. auch eine Prozedur <math>haelt-tricky?</math>, die <math>\#t</math> zurück gibt, wenn das betrachtete Programm P ein Ergebnis berechnet, und <math>\#f</math>, wenn die Berechnung in einer gewissen Zeit T zu keinem Ergebnis führt. Verwenden Sie zeitbeschränkte Berechnungen, deren Implementierungidee einige Kreativität erfordert.
<language>Scheme</language>
<language>Scheme</language>
<language>Scheme</language>
==Lösung==
<code id="4d8a07fbab307">
(define (haelt_fuer_n f n)
(f n) #t)
(define (haelt f)
(f 0) #t)
(define (crazy n)
(cond
((haelt crazy) n)
(else crazy n)))
(define (haelt-tricky f n)
(cond
((= n 10000) #f)
(else (haelt-tricky f (f n)))))
(define (crazy-tricky n)
(+ n 1))
</code>
Beispiel-Aufruf für haelt:
<run id="4d8a1d477f906">(haelt crazy)</run>
Beispiel-Aufruf zu haelt-tricky:
(Hinweis: Wir empfehlen den lokalen Aufruf der Funktion, da dieser im Wiki, zu einer noch ungeklärten Endlosschleife führt.)
<run id="4d8a07fbab38f">(haelt-tricky crazy-tricky 0)</run>
=Beweise=
==Aufgabenstellung==
# Zeigen Sie, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar unendlich ist.
# Zeigen Sie, dass die Wortmenge <math>A^\ast</math> über <math>A</math> abzählbar unendlich ist.
# Zeigen Sie, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar unendlich ist.
==Lösung==
<language>Java</language>
===Aufgabe 1===
Zum Beweis, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar unendlich ist, also, dass eine bijektive Abbildung <math>\N \rightarrow \Q</math> existiert, ist es zunächst erforderlich, die Abbildung <math>\N \rightarrow \Q^+</math> zu beweisen.
Dazu eignet sich die Darstellung der rationalen Zahlen in einer Tabelle der folgenden Form:
<code id="4d8a61c596db6" hidden>
private void draw(){
canvas.clear();
canvas.line(20,0,20,200);
canvas.line(0,20,1100,20);
for(int i = 0 ; i < 10 ; i++){
canvas.text(2 + i * 60, 2 , ""+i);
}
for(int i = 0 ; i < 10 ; i++){
canvas.text(2, 2 + i * 30, ""+i);
}
for(int i = 1 ; i < 10 ; i++){
for(int 1 = 0 ; j < 10 ; j++){
canvas.text(35 + (i - 1) * 60,35 + (j - 1) * 30, i + "/" + j);
}
}
}
</code>
<run id="4d8a61c596e21">
draw();
</run>
<canvas width=800 height=200></canvas>
===Aufgabe 2===
Die Anzahl der Wörter aus einem Alphabet <math>A</math> mit einer bestimmten Länge <math>l</math> ist endlich. Die Zahl der Wörter, die mit der Länge <math>l</math> aus dem Alphabet <math>A</math> gebildet werden können, kann mit
:<math>
\begin{array}{ccc}
\text{Anzahl der Elemente des Alphabets}^\text{Wortl\"ange}&=&A^l
\end{array}</math>
berechen werden.
====Beispiel====
<math>A={a,b,c,d}</math>
<math>
\begin{array}{ccccc}
|A|&=&4&&\\
|A^0|&=&4^0&=&1\\
|A^1|&=&4^1&=&4\\
|A^2|&=&4^2&=&16\\
&&usw.&&\\
\end{array}
</math>
Die Wortmenge <math>A^\ast</math> bildet sich nun aus den unendlich vielen Teilmengen <math>A^i</math>.
Um eine Abbildung der Wortmenge <math>A^\ast</math> auf die natürlichen Zahlen <math>\mathbb{N}</math> zu ermöglichen, ordnet man nun die einzelnen Wörter der Wortmenge nach der längenlexikografischen Ordnung. Anschließend kann jedem Wort eine natürliche Zahl zugeordnet werden.
====Beispiel====
:{| class="wikitable"
|-
! <math>\epsilon</math>!! a !! b !! c !! d !! aa
|-
| 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6
|}
===Aufgabe 3===
<math>
\begin{array}{ccc}
Z & \rightarrow & \mathbb{R} \text{ \"uberabz\"ahlbar unendlich} \\
\overline{Z} & \rightarrow & \mathbb{R} \text{ abz\"ahlbar unendlich}
\end{array}
</math>
Auflisten von allen reellen Zahlen zwischen 0 und 1:
<math>
\begin{array}{ccc}
a_0&=&0.\text{ }a_{00}\text{ }a_{01}\text{ }a_{02}\text{ }a_{03}...\\
a_1&=&0.\text{ }a_{10}\text{ }a_{11}\text{ }a_{12}\text{ }a_{13}...\\
a_2&=&0.\text{ }a_{20}\text{ }a_{21}\text{ }a_{22}\text{ }a_{23}...\\
a_3&=&0.\text{ }a_{30}\text{ }a_{31}\text{ }a_{32}\text{ }a_{33}...\\
&usw.&
\end{array}
</math>
Nimmt man nun die Ziffern auf der Diagonalen (<math>a_{00},a_{11},...</math>), ändert diese Zahlen nach dem Muster
:<math>
\overline{a_i}=\begin{cases}
a_{ii}+1, & \text{wenn }a_{ii}<9\\
0, & \text{sonst}
\end{cases}
</math>
und bildet aus den einzelnen Ziffern eine neue Zahl <math>\overline{a}=0.\text{ }\overline{a_0}\text{ }\overline{a_1}\text{ }\overline{a_2}\text{ }\overline{a_3}...</math>, so ist diese Zahl eine neue Zahl in <math>\mathbb{R}</math>. Dies kann unendlich oft wiederholt werden, man kann nie alle reelle Zahlen zwischen 0 und 1 auflisten. Damit ist auch eine Abbildung von den reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> auf die natürlichen Zahlen <math>\mathbb{N}</math> nicht möglich.
Daraus folgt: <math>\overline{Z}</math> gilt nicht <math>\rightarrow</math> <math>Z</math> gilt.
=Bijektive Funktion=
==Aufgabenstellung==
Verifzieren Sie, dass die folgende Funktion <math>f : \mathbb{N}^+ \rightarrow \mathbb{Q}^+</math> eine bijektive Funktion ist und implementieren Sie eine Prozedur, die die zugehörige Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math> berechnet.
:<math>
f(n)=\begin{cases}
1, &\text{wenn }n=1;\\
f(\frac{n}{2}), & \text{wenn n gerade};\\
\frac{1}{f(n-1)}, & \text{wenn n ungerade}.
\end{cases}
</math>
<language>Scheme</language>
<language>Scheme</language>
<language>Scheme</language>
<language>Scheme</language>
<language>Scheme</language>
<language>Scheme</language>
==Lösung==
<code id="4d8a1ce97152c" hidden>
(require-library 'sisc/libs/srfi/srfi-69)
(import srfi-69)
</code>
<code id="4d8a103de4770">
(define (biject n)
(cond
((or (< n 1) (not (= (round n) n))) (display "Bitte nur natürliche Zahlen eingeben!"))
((= n 1) 1)
((ist-gerade n) (+ 1 (biject (/ n 2))))
(else (/ 1 (biject (- n 1))))))
(define (ist-gerade n)
(cond
((= 1 (modulo n 2)) #f)
(else #t)))
(define values (make-hash-table))
(define (memobiject n)
(cond
((number? (hash-table-ref values n false))(hash-table-ref values n false))
((or (< n 1) (not (= (round n) n))) (display "Bitte nur natürliche Zahlen eingeben!"))
((= n 1) (hash-table-set! values 1 1))
((ist-gerade n) (hash-table-set! values n (+ 1 (biject (/ n 2)))))
(else (hash-table-set! values n (/ 1 (biject (- n 1))))))
(hash-ref values n false))
</code>
Beispiel-Aufruf: (biject 5)
<run id="4d8a103de47de"></run>
Beispiel-Aufruf mit Memoizing: (memobiject 1000)
<run id="4d8a103de4842"></run>