BuK/IIm10/BuK-Übung02 G1

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=Halteproblem=
==Aufgabenstellung==
Spielen Sie die Betrachtungen zum Halteproblem (s. Vorlesung) mit Scheme-Prozeduren nach.

Hinweis: Definieren Sie ggf. auch eine Prozedur <math>haelt-tricky?</math>, die <math>\#t</math> zurück gibt, wenn das betrachtete Programm P ein Ergebnis berechnet, und <math>\#f</math>, wenn die Berechnung in einer gewissen Zeit T zu keinem Ergebnis führt. Verwenden Sie zeitbeschränkte Berechnungen, deren Implementierungidee einige Kreativität erfordert.

<language>Scheme</language>
==Lösung==
<code id="4d8a07fbab307">
(define (haelt_fuer_n f n)
   (f n) #t)
(define (test n) n)
(define (haelt f)
  (f 0) #t)
(define (crazy n)
  (cond
    ((haelt crazy) n)
    (else crazy n)))
(define (haelt-tricky f n)
  (cond
    ((= n 10000) #f)
    (else (haelt-tricky f (f n)))))
(define (crazy-tricky n)
  (+ n 1))
</code>
<run id="4d8a07fbab38f"></run>

=Beweise=
==Aufgabenstellung==
# Zeigen Sie, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar unendlich ist.
# Zeigen Sie, dass die Wortmenge <math>A^\ast</math> über <math>A</math> abzählbar unendlich ist.
# Zeigen Sie, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar unendlich ist.

==Lösung==
===Aufgabe 1===
===Aufgabe 2===
Die Anzahl der Wörter aus einem Alphabet <math>A</math> mit einer bestimmten Länge <math>l</math> ist endlich. Die Zahl der Wörter, die mit der Länge <math>l</math> aus dem Alphabet <math>A</math> gebildet werden können, kann mit

:<math>
\begin{array}{ccc}
\text{Anzahl der Elemente des Alphabets}^\text{Wortl\"ange}&=&A^l
\end{array}</math>

berechen werden.
====Beispiel====
<math>A={a,b,c,d}</math>
<math>
\begin{array}{ccccc}

\end{array}
</math>
Die Wortmenge <math>A^\ast</math> bildet sich nun aus den unendlich vielen Teilmengen <math>A^i</math>.

Um eine Abbildung der Wortmenge <math>A^\ast</math> auf die natürlichen Zahlen <math>\mathbb{N}</math> zu ermöglichen, ordnet man die einzelnen Wörter der Wortmenge nach der längenlexikografischen Ordnung.

===Aufgabe 3===

=Bijektive Funktion=
==Aufgabenstellung==
Verifzieren Sie, dass die folgende Funktion <math>f : \mathbb{N}^+ \rightarrow \mathbb{Q}^+</math> eine bijektive Funktion ist und  implementieren Sie eine Prozedur, die die zugehörige Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math> berechnet.
:<math>
f(n)=\begin{cases}
1, &\text{wenn }n=1;\\
f(\frac{n}{2}), & \text{wenn n gerade};\\
\frac{1}{f(n-1)}, & \text{wenn n ungerade}.
\end{cases}
</math>

==Lösung==