Bergervei/Pascal-Zahlenraten
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<language>Pascal</language>
== Computerraten einer Zahl ==
Wir kennen das einfache Spiel zum Raten einer Zahl <math>z</math> im Intervall <math>1 \le z \le max</math>:<br />
Aus einem zuvor vereinbarten Intervall denkt sich ein Spieler eine Zahl, die sein Mitspieler erraten muss. Nach jedem Versuch erhält der Mitspieler den Hinweis, ob seine vermutete Zahl kleiner bzw. größer als die erdachte Zahl ist oder sogar mit ihr übereinstimmt. Die erdachte Zahl soll so mit einem Minimum an Versuchen erraten werden.<br />
Natürlich ist ein Erraten der Zahl durch sequenzielle Suche möglich. Allerdings wissen wir, dass die Suche durch Intervallhalbierung wesentlich effizienter ist.<br />
Das Raten einer Zahl soll nun der Computer übernehmen. Dazu wollen wir selbstverständlich die ''effizientere'' Spielstrategie umsetzen:
computerraten(47, 100);
--> 5
Die zu implementierende Funktion <tt>computerraten</tt> soll die Anzahl der benötigten Versuche zurück geben.
<code id="4d2f6fe1688d9" hidden>
procedure suche_lsg(li, z, re: integer; var anz: integer);
var mi: integer;
begin
anz:=anz+1;
mi:=(re+li) div 2;
if z<mi then suche_lsg(li, z, mi, anz);
if z>mi then suche_lsg(mi, z, re, anz);
end;
function computerraten_lsg(zahl, maximum: integer): integer;
var anz: integer;
begin
anz:=0;
suche_lsg(1, zahl, maximum+1, anz);
result:=anz;
end;
</code>
<code id="4d248bc52a9d2">
function computerraten(zahl, maximum: integer): integer;
var anz: integer;
begin
anz:=0;
// Implementation der effizienten Suche
result:=anz;
end;
</code>
<check>
result:=(abs(computerraten(47, 100)-computerraten_lsg(47, 100))<3) and
(abs(computerraten(12345, 77777)-computerraten_lsg(12345, 77777))<3);
</check>
<run id="4d30831265c69">
writeln(computerraten(47, 100));
</run>
Diese Strategie scheint tatsächlich schnell zum Erfolg zu führen, da in jedem weiteren Programmdurchlauf die Suche auf das halbe Suchintervall reduziert wird.<br />
Man bezeichnet einen derartigen Suchalgorithmus als ''binäre Suche''.<br />
Wir testen unseren Algorithmus mit Zufallszahlen:
<code id="4d2bfe71bbfd8">
function zufallszahl(maximum: integer): integer;
begin
result:=random(maximum)+1;
end;
</code>
<run id="4d30831265cf5">
writeln(computerraten(zufallszahl(10000), 10000));
</run>
== Effizienz beim Raten einer Zahl ==
Wie viele Versuche sind mit binärer Suche im Mittel in einem vorgegebenen Intervall notwendig?<br />
Bei unseren weiteren Überlegungen wollen wir davon ausgehen, dass jeder Versuch genau einem "Zeittakt" entspricht.<br />
=== Empirische Effizienzuntersuchungen ===
Nun können wir empirische (empirisch: aus der Erfahrung oder Beobachtung) Effizienzuntersuchungen vornehmen.<br />
Dazu definieren wir zweckmäßigerweise eine Prozedur <tt>computerraten_n</tt>, die im Gegensatz zu <tt>computerraten</tt> die Anzahl der benötigten Versuche als arithmetisches Mittel mehrerer Versuche zurück gibt. Dabei werden die Zufallszahlen im mit <tt>maximum</tt> begrenzten Intervall "erraten":
<code id="4d2f6fe16896b" hidden>
function computerraten_n_lsg(maximum, anzahl: integer): real;
var summe: real;
i : integer;
begin
summe:=0;
for i:=1 to anzahl do
summe:=summe+computerraten_lsg(zufallszahl(maximum), maximum);
result:=summe/anzahl;
end;
</code>
<code id="4d2f6fe1689f2">
function computerraten_n(maximum, anzahl: integer): real;
begin
// Implementation des Algorithmus
result:=0;
end;
</code>
<check>
result:=(abs(computerraten_n(1000, 100)-computerraten_n_lsg(1000, 100))/computerraten_n_lsg(1000, 100)<0.2) and
(abs(computerraten_n(5432, 123)-computerraten_n_lsg(5432, 123))/computerraten_n_lsg(5432, 123)<0.2);
</check>
<run id="4d30831265d8b">
writeln(computerraten_n(10000, 100));
</run>
=== Experimente ===
Wir automatisieren nun das Raten einer Zahl in mehreren Intervallen. Dazu soll die obere Grenze des Suchintervalls von <tt>min</tt> zu <tt>maximum</tt> in einer frei wählbaren <tt>schrittweite</tt> variiert werden. Der Parameter <tt>anzahl</tt> beschreibt wieder, wie viele Suchvorgänge in jedem Intervall durchgeführt werden. Die Untersuchungsergebnisse werden in einem Balkendigramm veranschaulicht:
<code id="4d30c529342ce" hidden>
procedure balkendiagramm(arr: array of real; canvas: integer);
var rand, maxbreite, maxhoehe, breite, hoehe: real;
minimum, maximum, z0: real;
i: integer;
begin
selectcanvas(canvas);
canvas_clear();
rand:=50;
maxbreite:=400-2*rand;
maxhoehe:=300-2*rand;
breite:=maxbreite/length(arr);
minimum:=0; maximum:=0;
for i:=0 to length(arr)-1 do
begin
if arr[i]<minimum then minimum:=arr[i];
if arr[i]>maximum then maximum:=arr[i];
end;
z0 := maximum/(maximum-minimum)*maxhoehe+rand;
for i:=0 to length(arr)-1 do
begin
hoehe:=-maxhoehe/(maximum-minimum)*arr[i];
canvas_rect(round(rand+i*breite),round(z0),round(breite),round(hoehe));
end;
end;
</code>
<code id="4d30c5293436a">
procedure experiment(minimum, maximum, schrittweite, anzahl: integer);
var i, n : integer;
arr : array of real;
begin
n:=(maximum-minimum) div schrittweite;
setarraylength(arr, n+1);
for i:=0 to n do
begin
arr[i]:=computerraten_n(minimum+i*schrittweite, anzahl);
writeln('f('+(minimum+i*schrittweite)+') = '+arr[i]);
end;
balkendiagramm(arr, 1);
end;
</code>
<canvas w="400" h="300"></canvas>
<run id="4d30c52934420">
experiment(200, 10000, 200, 1000);
</run>
'''Ergebnisse:'''<br />
<ul>
<li>
Die binäre Suche führt im Vergleich zur sequenziellen Suche wesentlich schneller zum Erfolg.
</li>
<li>
Der Zeitaufwand wächst bei zunehmender Problemgröße (Suchintervall) langsamer an.<br />
Offensichtlich ist dieser Algorithmus bei umfassender Problemgröße sehr effizient.
</li>
</ul>
== Aufgaben ==
<ol>
<li>
Ermitteln Sie für das Raten einer Zahl die mögliche funktionale Abhängigkeit
<math>\mbox{Zeitaufwand} = f(\mbox{Problemgr\"o\ss e)}</math>.<br />
Testen Sie dazu geeignete Regressionsmodelle mit der Tabellenkalkulation oder einem grafikfähigen Taschenrechner.
</li>
<li>
Die Nullstellensuche durch Intervallschachtelung ist eine typische Anwendung der binären Suche.<br />
Verallgemeinern Sie das Raten einer Zahl und die Nullstellensuche zu einer Problemklasse, auf die eine binäre Suche anwendbar ist.
</li>
</ol>
== Zum Weiterarbeiten ==
=== Extremwertsuche nach dem Verfahren des Goldenen Schnitts ===
Die binäre Suche muss nicht zwingend zur Intervallhalbierung führen.<br />
Ein interessanter Algorithmus ist die Extremwertsuche nach dem Verfahren des Goldenen Schnitts. Dabei können sich die Suchintervalle überlappen.<br />
Wir betrachten das Verfahren zunächst für die Suche eines lokalen Minimums:
<table border="0">
<tr>
<td align="center">
[[Bild:Extremwert.gif]]<br />
Animation: Minimumsuche nach dem Verfahren des Goldenen Schnitts
</td>
<td>'''Algorithmus''' (Minimumsuche):
<ul>
<li>Lege ein Suchintervall durch zwei äußere Intervallgrenzen fest.</li>
<li>Zerlege dieses Suchintervall durch einen ''zweimaligen'' Goldenen Schnitt in 3 Teilintervalle.</li>
<li>Berechne die Funktionswerte an beiden Schnittstellen.</li>
<li>Das neue Suchintervall wird aus der Schnittstelle mit dem größeren der beiden Funktionswerte und einer der äußeren Intervallgrenzen derart gebildet, dass die Schnittstelle mit dem ''kleineren'' Funktionswert ''eingeschlossen'' wird.</li>
<li>Führe im neuen Suchintervall den Goldener Schnitt durch, der wieder zu 3 Teilintervallen führt.</li>
<li>Wiederhole das Verfahren solange, bis das Suchintervall einer hinreichend kleinen ε-Umgebung genügt.</li>
<li>Der Funktionswert eines Arguments aus dieser ε-Umgebung entspricht dem gesuchten Minimum.</li>
</ul>
</td>
</tr>
</table>
Implementieren Sie den Algorithmus zur binären Suche lokaler Extremwerte (Minima <u>und</u> Maxima!) einer zuvor definierten mathematischen Funktion.<br />
Legen Sie dazu unter Ihrem PWiki-Zugang eine neue Seite mit der Bezeichnung <tt><PWiki-Name>/Extremwertsuche</tt> an.