Einführung SS09

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Inhaltsverzeichnis

Absolut unlösbare Probleme

  • Theoretische Informatik: Es gibt absolut unlösbare Probleme (Beispiel: Halteproblem, s. Lehrveranstaltung Programmierparadigmen)

Praktische unlösbare Probleme

  • Algorithmus zur Lösung bekannt, meist sogar recht einfach; aber Prozess zur Ermittlung dieser Lösung erfordert eine Zeit, die jegliche Grenzen sprengt.

Beispiel: Schachspiel

  • Baum aller Schachspiele ist endlich und kann (theoretisch) angegeben werden. Praktisch unmöglich.

Ackermann-Peter-Funktion

  • Hier kann man immer wieder Argumente finden, die dazu führen, dass man für in zumutbarer Zeit keinen Wert erhält.

Sehr weit kommt man nicht, wenn man eine entsprechende x-y-Tabelle mit Werten der AP-Funktion ausfüllen möchte.


Empirische Analyse

  • Problemgröße feststellen und Aufwandsfunktion anstreben.

Bit- vs. uniforme Komplexität

  • Frage nach den elementaren (oder atomaren) Rechenoperationen: Addition oder Multiplikation beliebiger natürlicher Zahlen. Was soll eine Elementaroperation sein? Sie muss unabhängig von der Wortbreite (= codierte Eingabe) mit konstantem Aufwand (Zeit) stattfinden. Antwort: Dies muss von Fall zu Fall entschieden werden. Beispiel: Moderne Rechner erledigen komplette Addition/Multiplikation höchstens -stelliger ganzer Zahlen mit konstanter Zeit. Dann reicht das uniforme Komplexitätsmaß. Die damit verbundene theoretische Basis bildet die Registermaschine. Anderenfalls muss eine Bit-basierte Betrachtung durchgeführt werden. Dabei ist die Multiplikation zweier -stelliger Zahlen aufwendiger als deren Addition. Die theoretische Grundlage bildet die Turingmaschine.
  • Die Wahl der Basis des Stellenwertsystems hat keinen Einfluss auf die Größenordnung des Aufwandes, d.h. lediglich ein konstanter Faktor ist zu berücksichtigen. Nachrechnen!

Beispiel: Multiplikation a la Russe

Multipliziere zwei natürliche Zahlen und indem du und jedes sich ergebende Zwischenergebnis fortgesetzt ganzzahlig halbierst und fortgesetzt multiplizierst. Schreibe die Zwischenwerte jeweils unter bzw. . Setze das Verfahren solange fort, bis in der -Spalte die Zahl 1 steht. Streiche alle Zeilen in der -Spalte, in denen unter und einschl. je eine gerade Zahl steht. Addiere die in der -Spalte ungestrichenen Zahlen. Diese Summe ist das Produkt aus und .

43 *  14 =  602
21    28
10    56 streichen
 5   112
 2   224 streichen
 1   448
     ---
     602

Aufgabe: Beweisen Sie, dass dieses Verfahren tatsächlich das gesuchte Produkt aus und berechnet.

Empirische Effizienzanalyse des Verfahrens a la Russe

Das oben beschriebene Verfahren wird mit folgender Scheme-Prozedur adäquat beschrieben.

Für eine Aufwandsanalyse auf Basis der Bit-Komplexität sind Elementaroperationen zu identifizieren: left shift (lsh), right shift (rsh) arbeiten mit linearem Aufwand bezogen auf die Wortbreite der binär codierten Eingabezahlen.

my-odd arbeitet ebenfalls mit linearem Aufwand bezogen auf die Wortbreite.

helper sammelt alle zu addierenden Zahlen (Bitlisten). binadd sorgt für deren Addition, wobei allbinadd die weiter unten definierte Prozedur adder verwendet.

Aufgabe: Implementieren Sie die noch erforderlichen Prozeduren. Hinweis: Damit Sie die empirische Untersuchung unabhängig davon fortsetzen können, werden diese Prozeduren in Hintergrund bereitgestellt, sodass Anwendungen der folgenden Prozedur product-binary entsprechende Resultate erzeugen.

adder imitiert die Arbeit eines Volladders (Bit 1, Bit 2 und Übertrag). Die globale Variable calls wird für die Zählung der als elementar anzusehenden Adder-Operationen benötigt.

Nun können wir product-binary ausprobieren.

Hinweis: In Scheme können die Dualzahlen auch direkt durch ein vorangestelltes b angegeben werden.

Die auf diese Weise für ausgewählte gewonnenen Rechnenzeiten können nun grafisch dargestellt werden.

Ein quadratischer Aufwand lässt sich erahnen. Eine verfeinerte empirische bzw. eine theoretische Analyse bestätigen dies. Damit ist diese Methode prinzipiell nicht besser als die Schulbuchmethode. Sind die Stelligkeiten der beiden Faktoren in etwas gleich groß, wird der Aufwand des a-la-Russe-Verfahrens durch nach oben beschränkt.

Probleminstanzen und Analyseformen

  • Für jedes Programm für Probleminstanzen anwenden
  • Je nach Analyseform den größten oder kleinsten bzw. das arithmetische Mittel der Werte nehmen.
Analyseformen sind
Worst-case-Analyse: Nimm die größte aller Instanzenzeiten.
Averege-case-Analyse: Nimm das arithmetische Mittel aller Instanzenzeiten.
Best-case-Analyse: Nimm die kleinste aller Instanzenzeiten.

Vergleich von Aufwänden

  • Hierfür muss man sehr oft nichtlineare Gleichungen lösen. Dies wird im Allg. interativ (Newton, Picard) erledigt.
Persönliche Werkzeuge